Question

6．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（其中n∈N^•）
（I）求a₀及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（Ⅱ）比较S_n与（n-2）2ⁿ+5的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在所给的等式中，令x=1可得a₀的值，取x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =3ⁿ，从而求得 S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n 的值．
（Ⅱ）令g（n）=（n-2）2ⁿ+5，检验可得当n≥3时，S_n＞g（n），再用数学归纳法进行证明．

解答 解：（Ⅰ）由于（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ ，
取x=1，可得 a₀=2ⁿ．
取x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =3ⁿ，∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n =3ⁿ-2ⁿ，
（Ⅱ）令g（n）=（n-2）2ⁿ+5，
当n=1时，S₁=1，g（1）=3，S₁＜g（1）；
当n=2时，S₂=5，g（2）=5，S₂=g（2）；
当n=3时，S₃=19，g（3）=13，S₃＞g（3）；
当n=1时，S₄=65，g（4）=37，S₄＞g（4）；
猜想当n≥3时，均有S_n＞g（n）．下面用数学归纳法证明． 
①当n=3时，显然，S₃＞g（3），不等式成立；
②假设n=k（k≥3）时不等式成立，即 S_k＞g（k），即3^k＞k•2^k-2^k+5．
则当n=k+1时，3^k+1=3•3^k＞3（k•2^k-2^k+5 ）=（3k-3）•2^k+15＞2k•2^k+5=k•2^k+1+5，
所以S_k+1＞g（k+1），…（11分）
即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②知，对一切n≥3，n∈N，均有S_n＞g（n）．成立． 
综上，当n=1时，S_n＜g（n）；当 n=2时，均有S_n=g（n）；当n≥3时，均有S_n＞g（n）．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，用数学归纳法、放缩法证明不等式，属于难题．