Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，
可得BD⊥PD，
所以BD⊥平面PAD，
故 PA⊥BD。
（Ⅱ）如图，作DE⊥PB，垂足为E，
已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC。
由（Ⅰ）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD，
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC，
由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=，
即棱锥D-PBC的高为。