Question

设函数f（x）=
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=x²-3x是减函数，可求此时函数f（x）的值域；同理可求得当x≥1时，减函数f（x）=的值域；
（2）函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，三个条件需同时成立，①≥1，②0＜a＜1，③1²-（4a+1）•1-8a+4≥0，从而可解得实数a的取值范围．
解答：解：（1）a=时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=x²-3x是减函数，所以f（x）＞f（1）=-2，即x＜1时，f（x）的值域是（-2，+∞）．（3分）
当x≥1时，f（x）=是减函数，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1时，f（x）的值域是（-∞，0]．（5分）
于是函数f（x）的值域是（-∞，0]∪（-2，+∞）=R．（6分）
（Ⅱ） 若函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：
①当x＜1，f（x）=x²-（4a+1）x-8a+4是减函数，于是≥1，则a≥．（8分）
②x≥1时，f（x）=是减函数，则0＜a＜1．（10分）
③1²-（4a+1）•1-8a+4≥0，则a≤．
于是实数a的取值范围是[，]．（12分）
点评：本题考查二次函数的性质，考查函数单调性的性质，着重考查分类讨论思想在求函数值域与确定参数a的取值范围中的应用，属于中档题．