Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），点（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C上，点T满足$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$（其中O为坐标原点），过点F作一斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点（其中P点在x轴上方，Q点在x轴下方）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PQT的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）由点T满足$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OF}$，可得$\overrightarrow{OT}$．直线PQ的方程为：y=x-1，把x=y+1代入椭圆方程解得P，Q坐标，利用△PQT的面积S=$\frac{1}{2}|FT||{y}_{1}-{y}_{2}|$，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得c=1，b=1，a²=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）∵点T满足$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OF}$，∴$\overrightarrow{OT}$=（2，0）．
直线PQ的方程为：y=x-1，
把x=y+1代入椭圆方程可得：3y²+2y-1=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴△PQT的面积S=$\frac{1}{2}|FT||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×（2-1）×\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算、直线与椭圆相交问题、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．