Question

如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)

Answer 1

剖析：先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解.

解：设所求物体质量为m kg时,系统保持平衡,再设F₁与竖直方向的夹角为θ₁,F₂与竖直方向的夹角为θ₂,则有

   

    (其中g为重力加速度)

    由①式和②式消去θ₂,得

    m²-8mcosθ₁+12=0,

    即m=4cosθ₁±2.③

    ∵cosθ₂＞0,由②式知,③式中m=4cosθ₁-2不合题意,舍去.

    又∵4cos²θ₁-3≥0,解得≤cosθ₁≤1.

    经检验,当cosθ₁=时,cosθ₂=0,不合题意,舍去.

    ∴2＜m＜6.

    综上,所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时,系统可保持平衡.

讲评：(1)m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义,本题容易忽略cosθ₂＞0的实际限制.