Question

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD＝，在侧棱CC₁上截取CE＝a，过A、D、E作棱柱的截面．

(Ⅰ)求截面面积；

(Ⅱ)求证：截面ADE⊥侧面ACC₁A₁．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵侧面是矩形，∴易求得AD＝DE＝，AE＝a． 　　取AE中点F，连结DF，则DF⊥AE． 　　; 　　(Ⅱ)证法1：取AC中点M，连结FM，BM．则FM∥CE且FM＝CE，又BD＝CE，∴FM∥BD．∴BMFD是平行四边形．∴DF∥BM∵BM⊥AC，∴BM⊥面AA1C1C． 　∴DF⊥面AA1C1C，而DF面ADE． 　∴截面ADE⊥侧面AA1C1C． 　　证法2：取CE中点G，连结DG，FG易证面DFG∥面ABC，而AA1⊥面ABC， 　∴AA1⊥面DFG．∴AA1⊥DF．又DF⊥AE，∴DF⊥面AA1C1C．∴面ADE⊥侧面AA1C1C． 　　证法3：连结CF，∵AC＝CE，F为AE中点．∴CF⊥AE，∴∠DFC是二面角D－AE－C的平面角．易求得 　∵DF2＋CF2＋＝CD2，∴∠DFC＝90°，∴面ADE⊥面AA1C1C．