Question

证明关于x的方程ax²+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

Answer 1

证明：(1)先证充分性：设a+b+c=0,则c=－(a+b).

∴ax²+bx－(a+b)=0.

∴(x－1)［a(x+1)+b］=0.

∴1是原方程的一个根.

(2)再证必要性：设1是方程ax²+bx+c=0的一个根，则a·1²+b·1+c=0,即a+b+c=0.

综上所述，方程ax²+bx+x=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.