Question

如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点

(1)若F为AA₁的中点，求证：EF∥面DD₁C₁C；

(2)若F为AA₁的中点，求二面角A－EC－D₁的余弦值；

(3)若F在AA₁上运动时(F与A、A₁不重合)，求当半平面D₁EF与半平面ADE成的角时，线段A₁F与FA的比．

Answer 1

答案：
解析：

为等腰梯形，5分 　　又，　7分 　　∴　∴二面角的余弦值为．9分 　　(3)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，，则 　　， 　　∵， 　　∴取　11分 　　设面的法向量为， 　　∵ 　　∴　取，则 　　∵半平面与半平面成角 　　∴　13分 　　∴，即　∴线段的比为．14分 　　注：本题的方法多样，不同的方法请酌情给分．