Question

求证（3n+1）·7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除.

Answer 1

证法一：（1）当n=1时，4×7-1=27显然能被9整除，

（2）假设n=k时（3k+1）·7^k-1能被9整除，则n=k+1时，［3（k+1）+1］·7^k+1-1=（3k+1）·7^k+6·（3k+1）·7^k+3×7^k+1-1=［（3k+1）·7^k-1］+9·（2k+3）·7^k.

∵（3k+1）·7^k-1能被9整除，9·（2k+3）·7^k显然能被9整除，∴当n=k+1时命题成立.

由（1）（2）可知,n∈N^*命题都成立，

证法二：（1）当n=1时，4×7-1=27显然能被9整除.

（2）假设n=k时，f（k）=（3k+1）·7^k-1能被9整除.则当n=k+1时，f（k+1）-f（k）=［（3k+4）·7^k+1-1］-［（3k+1）·7^k-1］=9·（2k+3）·7^k,所以f（k+1）=f（k）+9·（2k+3）·7^k能被9整除.

∴当n=k+1时，命题成立.

由（1）（2）可知，n∈N^*命题都成立.