Question

（2011•淄博二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0（n∈N^*）且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．求数列{a_n}、{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）要利用恒等式a_n+1=2S_n+1构造出a_n=2S_n-1+1两者作差得出a_n+1=3a_n，求出数列{a_n}；
（2）有等差数列的性质求出b₂=5，进而求出公差和首项，即可求出通项公式．

解答：解：（1）当n≥2时，由a_n+1=2S_n+1得a_n=2S_n-1+1，两式相减得
a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，整理得

an+1

an

=3，
a₂=2S₁+1=3，∴

a2

a1

=3满足上式．                   
∴{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n=3^n-1                   
（2）由条件知：b₂=5，故（1+b₁）（9+b₃）=64               
即（6-d）（14+d）=64，解得d=2或d=-10（舍），故b₁=3     
∴b_n=b₁+（n-1）d=2n+1

点评：本题技巧性较强，是数列中的一道难度较高的题，对答题者基础知识与基本技能要求较高，是用来提高学生数列素养的一道好题．