Question

设函数f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a、b、c、dÎR)图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-．

（1）求a、b、c、d的值；

（2）当xÎ[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论；

（3）若x₁，x₂Î[-1，1]时，求证：．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵ 函数f(x)图象关于原点对称，∴ 对任意实数x有f(-x)=-f(x)， ∴ -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立 ∴ b=0，d=0  ∴ f(x)=ax3+cx，f¢(x)=3ax3+c， ∵ x=11时，f(x)取极小值-，∴ 3a+c=0且a+c=-，解得a=，c=-1， （2）当xÎ[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立． 假设图象上存在两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得过此两点处的切线互相垂直， 则由f¢(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=-1，k2=-1， 且　　  (*) ∵ x1、x2Î[-1，1]，∴ -1£0，-1£0，∴ (-1)×(-1)³0 此与（*）相矛盾，故假设不成立． （3）∵ f′(x)=x2-1，令f′(x)=0，得x=±1，∵ xÎ(-¥，-1)， 或xÎ(1，+¥)时，f′(x)>0；xÎ(-1，1)时，f′(x)<0， ∴ f(x)在[-1，1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=，fmin(x)=f(1)=- ∴ 在[-1，1]上，，于是x1，x2Î[-1，1]时， 于是x1、x2Î[-1，1]时，．