Question

（2010•济南一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM，
（1）求证：M为PC的中点；
（2）求证：面ADM⊥面PBC．

Answer 1

分析：（1）连接AC，AC与BD交于G，根据线面平行的性质可知PA∥MG，而底面ABCD为菱形，则G为AC的中点，从而MG为△PAC的中位线，最终说明M为PC的中点．
（2）取AD中点O，连接PO，BO．分别以OA，OB，OP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，根据

DM

•

BP

=0，

DM

•

CB

=0可得DM⊥BP，DM⊥CB，再根据线面垂直的判定定理可知DM⊥平面PBC，又DM?平面ADM，满足面面垂直的判定定理所需条件．

解答：证明：
（1）连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG（3分）
∵底面ABCD为菱形，∴G为AC的中点，
∴MG为△PAC的中位线．
因此M为PC的中点．（5分）

（2）取AD中点O，连接PO，BO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以，PO⊥平面ABCD，（7分）
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB．
∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系{

OA

，

OB

，

OP

}（7分）
则A（1，0，0），B(0，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，

3

)
∴

DP

=(1，0，

3

)，

AB

=(-1，

3

，0)
∴

DM

=

1

2

(

DP

+

DC

)=

1

2

(

DP

+

AB

)=(0，

3

2

，

3

2

)（9分）

BP

=(0，-

3

，

3

)，

CB

=

DA

=（2，0，0）
∴

DM

•

BP

=0-

3

2

+

3

2

=0，

DM

•

CB

=0+0+0=0
∴DM⊥BP，DM⊥CB（11分）
∴DM⊥平面PBC，又DM?平面ADM，
∴面ADM⊥面PBC（12分）

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的性质和利用向量法证明立体几何的有关问题，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．