Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若·=0，求直线PQ的方程；

(3)设(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，求证：.

Answer 1

答案：(1)解：由题意，可设椭圆的方程为=1(a＞).由已知得

解得a=,c=2，所以椭圆的方程为=1.                                 

(2)解：由(1)可得A(3，0).设直线PQ的方程为y=k(x-3).由方程组

得(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0，

依题意Δ=12(2-3k²)＞0，得＜k＜.

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，则x₁+x₂=,                                            ①

x₁x₂=.                                                               ②

于是y₁y₂=k²(x₁-3)(x₂-3)=k²［x₁x₂-3(x₁+x₂)+9］.                                     ③

∵=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0.                                                  ④

由①②③④得5k²=1，从而k=±∈().

所以直线PQ的方程为xy-3=0或x+y-3=0.                               

(3)证明：=(x₁-3,y₁),=(x₂-3,y₂).

由已知得方程组  注意λ＞1，解得x₂=，

因F(2,0),M(x₁,-y₁)，故=(x₁-2,-y₁)=(λ(x₂-3)+1,-y₁)=(,-y₁)=-λ(,y₂).

而=(x₂-2,y₂)=(,y₂)，所以=-λ.