Question

已知函数f(x)＝ax³＋bx²－3x在x＝±1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间和函数的极大值与极小值；

(2)求过A点(0，16)的曲线y＝f(x)的切线方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，(x)＝(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0． 　　所以f(x)＝x3－3x，(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 　　令(x)＝0，得x＝－1或x＝1．若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，若x∈(－1，1)，则(x)＜0，故f(x)在(－1，1)上是减函数，所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值． 　　(2)曲线方程为y＝x3－3x，点A(0，16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x03－3x0． 　　因(x0)＝3(x02－1)， 　　故切线的方程为y－y0＝3(x02－1)(x－x0)． 　　注意点A(0，16)在切线上，有16－(x03－3x0)＝3(x02－1)(0－x0)，化简得x03＝－8，解得x0＝－2．所以切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0． 　　解析：(1)根据题意列方程组求出a、b的极值，进而求单调区间和极值；(2)首先判断A点是否在y＝f(x)上，然后求出k，由点斜式求切线方程．