Question

设数列{a_n}的各项都是正数，记S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N₊，都有.

(Ⅰ)求证：=2S_n-a_n；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅲ)若b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ·(λ为非零常数，n∈N₊)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N₊，都有b_n+l＞b_n.

Answer 1

答案：(1)证明：在已知式中,当n=1时,∵a₁＞0  ∴a₁=1

当n≥2时+++…+①+++…+②

①-②得,=a_n(2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n)∵a_n＞0  ∴=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n

即=2S_n-a_n∵a₁=1适合上式∴=2S_n-a_n(nN₊)

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知=2S_n-a_n(nN₊)③当n≥2时,=2S_n-1-a_n-1④

③-④得=2(S_n-S_n-1)-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1∵a_n+a_n-1＞0  ∴a_n-a_n-1=1

数列＜{a_n}是等差数列,首项为1,公差为1,可得a_n=n

(Ⅲ)解:∵a_n=n∴b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ·=3ⁿ+(-1)^n-1λ·2ⁿ

欲使b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+(1-)ⁿλ·2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+(-1)^n-1λ·2ⁿ]=2·3ⁿ-3λ(-1)^n-1·2ⁿ＞0

即(-1)^n-1·λ＜()^n-1成立⑤当n=2k-1,k=1,2,3…都成立,∴λ＜1

⑤式即为λ＜-()^2k-1⑥依题意,⑦式对k=1,2,3…都成立λ＞  ∴＜λ＜1,又λ≠0

∴存在整数λ=-1,使得对任意nN₊,都有b_n+1＞b_n.