Question

6．已知等差数列{a_n}满足（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=2n（n+1）（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式求出公差d，即可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）根据错位相减法即可求出前n项和．

解答 解：∵（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=2n（n+1），①
∴（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=2n（n-1），②
由①-②可得，a_n+a_n+1=4n，③，
令n=n-1，可得a_n+a_n-1=4（n-1），④，
由③-④可得2d=4，
∴d=2，
∵a₁+a₂=4，
∴a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
（2）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1+2•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+2$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题考查了利用数列的递推公式求出通项公式和利用错位相减法求前n项和，属于中档题．