Question

已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），若数列{a_n}满足
（1）求证：数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），知b_n+1-2b_n=3（b_n-2b_n-1），故{b_n+1-2b_n}成等比数列，由此能求出．
（2）由，n∈N^*，推导出=，从而得到（1+）（1+）…（1+）=（）（）（）…（）=，n∈Z^*．由此能够证明．
解答：解：（1）∵{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），
∴b_n+1-2b_n=3（b_n-2b_n-1），故{b_n+1-2b_n}成等比数列，
∴b_n+1-2b_n=3^n-1（b₂-b₁）=3ⁿ，
∴，
∴=2（），
∴b_n-3ⁿ=2^n-1（b₁-3）=-2ⁿ，
∴．
（2），n∈N^*，
∴a_n+1=+1=b_n（），
∴==，
∴（1+）（1+）…（1+）=（）（）（）…（）
=•（）•（）…（）•（a_n+1）
=•（）
=
=，n∈Z^*．
∵1-（）^k≥，不等式左侧单调递增，右侧单调递减，当且仅当k=1时等式成立，
∴3^k-2^k≥（）^k-1，
∴（）^k-1，
∴≤==3，
∴．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．