Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=，进而求出∠A．
（2）首先利用正弦定理化边为角，可得l=1+，然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+），从而转化成三角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解．
解答：解：（1）∵accosC+c=b，
由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，
即sinAcosC+sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴，
又∵0＜A＜π，
∴．
（2）由正弦定理得：b==，c=，
∴l=a+b+c
=1+（sinB+sinC）
=1+（sinB+sin（A+B））
=1+2（sinB+cosB）
=1+2sin（B+），
∵A=，∴B，∴B+，∴，
故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．
（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，
由（1）及余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=bc+1，
∴（b+c）²=1+3bc≤1+3（）²，
解得b+c≤2，
又∵b+c＞a=1，
∴l=a+b+c＞2，
即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力．