Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于点D．

（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；

（Ⅱ）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

解答：

解：以A₁为原点，A₁B，A₁C，A₁A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，

则A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）

（1）在△PAA₁中，C1D=AA1，则D（0，1，）

∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）

设平面BDA₁的一个法向量为=（a，b，c）

则

令c=﹣1，则=（1，，﹣1）

∵•=1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0

∴PB₁∥平面BDA₁

（II）由（I）知平面BDA₁的一个法向量=（1，，﹣1）

又=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量

∴cos＜，＞===

故二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值为