Question

直线y=kx+1（k∈R）与曲线

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共点．则非负实数m的取值范围

{m|m≥1且m≠5}

．

Answer 1

分析：由直线y=kx+1恒过（0，1），知要使y=kx+1（k∈R）与曲线

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共点，必须（0.1）在椭圆内或椭圆上，所以椭圆中心（0，0）到（0，1）的距离1必须小等于短半轴．由此能求出非负实数m的取值范围．

解答：解：∵直线y=kx+1恒过（0，1），
∴要使y=kx+1（k∈R）与曲线

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共点，
必须（0.1）在椭圆内或椭圆上，
所以椭圆中心（0，0）到（0，1）的距离1必须小等于短半轴．
当椭圆焦点在x轴上时，m＜5，且依题意得m≥1，
即1≤m＜5；
当椭圆焦点在y轴上时，
m＞5，
因为此时b=

5

＞1，
所以m＞5满足题意
所以m的取值范围是：m≥1且m≠5．
故答案为：{m|m≥1且m≠5}．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．