Question

在同一平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,证明这n个圆将平面分成n²-n+2个部分.

Answer 1

证明:(1)当n=1时,n²-n+2=2,即把平面分成两个部分,结论成立.

(2)假设n=k时,k个圆把平面分成k²-k+2个部分.若再增加一个圆,它与原来的k个圆相交,共有2k个交点.这些点把第k+1个圆分成2k段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了2k个部分.所以当n=k+1时,平面被分成了(k²-k+2)+2k=(k+1)²-(k+1)+2个部分,即n=k+1时命题成立.由(1)(2),知n∈N时结论成立.