Question

已知数列{a_n}，a₁＝1，a_n＝λa_n－1＋λ－2(n≥2)．

(1)当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；

(2)若λ＝3，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2， 　　a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2， 　　∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 　　得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝． 　　当λ＝时，a2＝2×－2＝1，a1＝a2，故λ＝不合题意舍去； 　　当λ＝1时，代入an＝λan－1＋λ－2可得an－an－1＝－1， 　　∴数列{an}构成首项为a1＝1，d＝－1的等差数列， 　　∴an＝2－n． 　　(2)当λ＝3时，an＝3an－1＋1， 　　即an＋＝3(an－1＋)，令bn＝an＋ 　　即bn＝3bn－1， 　　∴数列{bn}构成首项为b1＝，公比为3的等比数列， 　　∴bn＝×3n－1＝， 　　∴an＝－