Question

（2012•福州模拟）已知函数f（x）=

cos2x

2 sin( π 4 -x)

．
（Ⅰ）求函数f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：由f（x）解析式中分母不为0，求出x的范围，即为函数的定义域，并将函数解析式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）将x=

π

12

代入化简后的解析式中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调递减区间及函数的定义域，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递减区间．

解答：解：由sin（

π

4

-x）≠0，得x-

π

4

≠kπ（k∈Z），即x≠kπ+

π

4

（k∈Z），
∴函数f（x）定义域为{x|x≠kπ+

π

4

（k∈Z）}，
f（x）=

cos2x

2 sin( π 4 -x)

=

cos2x-sin2x

cosx-sinx

=cosx+sinx=

2

sin（x+

π

4

），
（Ⅰ）f（

π

12

）=

2

sin（

π

12

+

π

4

）=

2

sin

π

3

=

6

2

；
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
得2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递减区间为（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．