Question

以定点A(2，8)和动点B为焦点的椭圆经过点P(－4，0)、Q(2，0)．

(1)求动点B的轨迹方程；

(2)是否存在实数k，使直线y＝kx＋2与上述B点轨迹的交点C，D恰好关于直线l：y＝2x对称？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　⑴设B(x，y)，依题设及椭圆定义有：

　　|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|

　　∴|QB|－|PB|＝|PA|－|QA|＝

　　∴B的轨迹是以P，Q为焦点的双曲线的左支

　　由2a＝2，2c＝6，得b²＝c²－a²＝3²－1²＝8

　　故所求的轨迹方程为(x＋1)²－＝1(x≤－2)

　　⑵若存在，设交点为C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)∵C、D关于l：y＝2x对称，∴CD中点在l上，y₁＋y₂＝2(x₁＋x₂)…①．又C、D在直线y＝kx＋2上，∴y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋4…②，由①、②得x₁＋x₂＝……③由得(8－k²)x²＋4(2－k)x－4＝0

　　∴x₁＋x₂＝－……④．由③、④得解得k＝

　　但k_CD·k＝≠－1，故直线CD与l垂直∴这样的实数k不存在