Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，E、F分别为BC与PD的中点．
（1）求证：PE⊥DE；
（2）求直线CF与平面PAC的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证明：PE⊥DE；
（2）求出面PAC的法向量，即可求直线CF与平面PAC的夹角θ的余弦值．

解答 解：（1）如图建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），E（1，1，0），D（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
∵$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}$=0，
∴PE⊥DE  …（5分）
（2）C（1，2，0）F（0，1，1）A（0，0，0）设面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}z=0\\ x+2y=0\end{array}\right.$取$\overrightarrow{n}$=（2，-1，0）
 又∵$\overrightarrow{CF}$=（-1，-1，1）…（8分）
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow n＞}|=\frac{1}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{15}}}$…（11分）
即知$cosθ=\frac{{\sqrt{14}}}{{\sqrt{15}}}=\frac{{\sqrt{210}}}{15}$…（12分）

点评 本题考查向量方法的运用，考查线线垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．