Question

平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条或三条以上过同一点，设这n条直线将平面分割成的区域为f(n)，探求：f(n)．

Answer 1

答案：
解析：

导思：平面内的n条直线研究起来比较抽象、陌生、困难，我们可从n的最少取值开始，逐一探索研究，直至找出规律，发现规律来猜测． 　　探究：当n＝1时，一条直线将平面一分为二，∴f(1)＝2． 　　当n＝2时，这两条直线不平行，只相交，将平面分为4份，∴f(2)＝4． 　　当n＝3时，平面内这三条直线两两相交，且不共点，将平面分为7份，实质上是在两条直线的基础上进一步分割． 　　设l1、l2相交于P1，将平面分为S1、S2、S3、S4四个区域，如图2－1－16所示，若l3不过P1，与l1、l2分别交于P2、P3，则l3又将S2、S3、S4都一分为二，共6个区域，再加上S1共7个区域，比n＝2时多了3个区域． 　　若n＝4时，设l4不过P1、P2、P3，分别与l1、l2、l3交于P4、P5、P6，又将l1、l2、l3的四 　　个区域一分为二，即比f(3)多了四个区域，∴f(4)＝f(3)＋4＝11． 　　由此猜想：f(n)＝f(n－1)＋n． 　　由f(2)＝f(1)＋2； 　　f(3)＝f(2)＋3； 　　f(4)＝f(3)＋4； 　　…… 　　f(n)＝f(n－1)＋n； 　　得f(n)＝f(1)＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n＝．