Question

统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数为y=

1

128000

x3-

3

80

x+8(0＜x＜120)．
（1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

Answer 1

分析：（1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米需要

100

64

=

25

16

小时．即可得出耗油（(

1

128000

×643-

3

80

×64+8)×

25

16

（升）．
（2）设22.5升油该型号汽车可行驶a千米，可得(

1

128000

x3-

3

80

•x+8)×

a

x

=22.5，于是a=

22.5

1 128000 •x2+ 8 x - 3 80

，利用导数研究分母的单调性，求出最小值即可．

解答：解：（1）当x=64千米/小时时，要行驶100千米需要

100

64

=

25

16

小时
需要耗油（(

1

128000

×643-

3

80

×64+8)×

25

16

=11.95（升）
（2）设22.5升油该型号汽车可行驶a千米，由题意得(

1

128000

x3-

3

80

•x+8)×

a

x

=22.5
∴a=

22.5

1 128000 •x2+ 8 x - 3 80

设h(x)=

1

128000

x2+

8

x

-

3

80

则当h（x）最小时，a取最大值，
由h′(x)=

1

64000

x2-

8

x2

=

x3-803

64000x2

，
令h'（x）=0⇒x=80当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，当x∈（80，120）时，h'（x）＞0．
故当x∈（0，80）时，函数h（x）为减函数，当x∈（80，120）时，函数h（x）为增函数．
∴当x=80时，h（x）取得最小值，此时a取最大值为a=

22.5

1 128000 ×802+ 8 80 - 3 80

=200．
答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．

点评：本题综合考查了函数模型的应用、时间速度与路程的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，属于难题．