Question

设f(k)表示区间［2^k-1,2^k］(k∈N^*)上自然数的个数,S_n=f(1)+f(2)+…+f(n).

(1)求S_n的表达式；

(2)设P_n=n²+n-1(n∈N^*),试比较S_n与P_n的大小.

Answer 1

解:(1)由题意知,f(k)=2^k-2^k-1+1=2^k-1+1,

所以S_n=f(1)+f(2)+…+f(n)=(2⁰+1)+(2¹+1)+…+(2^n-1+1)

=(2⁰+2¹+…+2^n-1)+n=2ⁿ+n-1.

(2)因为S_n-P_n=2ⁿ-n².当n=1时,S₁-P₁＞0;当n=2时,S₂-P₂=0;当n=3时,S₃-P₃＜0;当n=4时,S₄-P₄=0;当n=5时,S₅-P₅＞0;当n=6时,S₆-S₆＞0;

故猜想:当n≥5时,都有S_n＞P_n成立.

法一:下面用数学归纳法给出证明.

①当n=5时,已证S₅-P₅＞0,所以结论成立;

②假设当n=k(k≥5)时,结论成立,即S_k＞P_k,即2^k＞k².

那么当n=k+1时,S_k+1-P_k+1=2^k+1-(k+1)²=2·2^k-(k+1)²＞2·k²-(k+1)²

=k²-2k-1=(k-1)²-2.

当k≥5时,(k-1)²-2＞0恒成立,则2^k+1＞(k+1)²也成立,所以当n=k+1时,结论也成立.

由①②可知,当n≥5时,都有S_n＞P_n成立.

法二:下面用二项式定理给出证明.

当n≥5时,因为2ⁿ=(1+1)ⁿ≥1+n+++n+1=n²+n+2＞n².

所以S_n-P_n=2ⁿ-n²＞0

综上所述,S_n与P_n的大小关系是

当n=2或n=4时,S_n=P_n;当n=3时,S_n＜P_n;当n=1或n≥5时,S_n＞P_n.