Question

（2013•东城区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

，且过点(2，

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：

1

|MN|

+

1

|PQ|

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率为

2

2

，即

c

a

=

2

2

可得a²=2b²，从而C：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，再把点(2，

2

)代入椭圆方程即可求得b²，进而得到a²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出焦点F₁，F₂的坐标，设直线MN的方程为y=k（x+2），由直线MN与直线PQ互相垂直得直线PQ的方程为y=-

1

k

(x-2)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．联立直线MN与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到

1

|MN|

+

1

|PQ|

为定值．

解答：（Ⅰ）解：由已知e=

c

a

=

2

2

，得

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2=

1

2

．
所以a²=2b²．
所以C：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，即x²+2y²=2b²．
因为椭圆C过点(2，

2

)，所以22+2(

2

)2=2b2，
得b²=4，a²=8．
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y=-

1

k

(x-2)．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由方程组

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

消y得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
则 x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-8

2k2+1

．
所以|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

．
同理可得|PQ|=

4 2 (1+k2)

k2+2

．
所以

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

2k2+1

4 2 (1+k2)

+

k2+2

4 2 (1+k2)

=

3k2+3

4 2 (1+k2)

=

3 2

8

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握．