Question

如图8,在Rt△ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角θ取何值时,·的值最大?并求出这个最大值.

图8

Answer 1

解:方法一,如图8.

∵⊥,∴·=0.

∵=-,=-,=-,

∴·=(-)·(-)

=·-·-·+·

=-a²-·+·=-a²+·(-)

=-a²+·=-a²+a²cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0.

方法二:如图9.

图9

    以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.

设点P的坐标为(x,y),

则Q(-x,-y).

∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).

∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x²+y²)+cx-by.

∵cosθ=,

∴cx-by=a²cosθ.

∴·=-a²+a²cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0.