Question

设函数f(x)=是奇函数（a,b,c都是整数），且f(1)=2,f(2)＜3,f(x)在［1，+∞)上单调递增.

（1）求a,b,c的值;

（2）当x＜0,f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.

Answer 1

解析：（1）由f(x)= 是奇函数，得f(-x)=-f(x)对定义域内x恒成立，

则-bx+c=-(bx+c)对定义域内x恒成立，即c=0(或由定义域关于原点对称得c=0).

又

由①得a=2b-1代入得

＜00＜b＜.

又a,b,c是整数，得b=a=1.

（2）由（1）知，f(x)==x+,

当x＜0,f(x)在（-∞,-1］上单调递增，在［-1，0）上单调递减.下面用定义证明之.设x₁＜x₂≤-1,则

f(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=x₁-x₂+=(x₁-x₂)(1-),

因为x₁＜x₂≤-1,x₁-x₂＜0,

1-＞0,f(x₁)-f(x₂)＜0,

故f(x)在（-∞,-1］上单调递增;

同理，可证f(x)在［-1，0）上单调递减.