Question

用数学归纳法证明（3n+1）7ⁿ－1（n∈N^*）能被9整除.

Answer 1

分析：当n=1时，原式=27能被9整除，因此，要研究（3k+1）·7^k－1与（3k+4）·7^k+1－1之间的关系，以便利用归纳假设（3k+1）·7^k－1能被9整除来推证（3k+4）·7^k+1－1能被9整除.

证法一：（1）n=1时，4×7－1=27能被9整除，命题成立.

（2）假设n=k时命题成立，即（3k+1）·7^k－1能被9整除.当n=k+1时，

［（3k+3）+1］·7^k+1－1=［3k+1+3］·7·7^k－1=7·（3k+1）·7^k－1+21·7^k

=［（3k+1）·7^k－1］+18k·7^k+6·7^k+21·7^k=［（3k+1）·7^k－1］+18k·7^k+27·7 ^k.

由归纳假设（3k+1）·7^k－1能被9整除，又因为18k·7^k+27·7^k能被9整除，所以［3（k+1）+1］·7^k+1－1能被9整除，即n=k+1时命题成立.

由（1）（2）可知对所有正整数n，命题成立.

证法二：证f（n）=（3n+1）·7ⁿ－1.

（1）f（1）=（3×1+1）·7－1=27能被9整除，因此n=1时，命题成立.

（2）假设n=k时命题成立，即f（k）（k∈N^*）能被9整除，则

f（k+1）－f（k）=［（3k+4）·7^k+1－1］－［（3k+1）·7^k－1］=9·（2k+3）·7^k.

由于f（k）能被9整除，9（2k+3）·7^k能被9整除，则f（k+1）能被9整除.

由（1）（2）可知对所有正整数n，f（n）能被9整除.

点评：本题两种证法的实质是一样的，证法一是把（3k+4）·7^k+1－1设法凑出（3k+1）·7^k－1，而证法二则是通过计算f（k+1）－f（k）避免了凑的过程.

此外，本题强调了用数学归纳法证明.实际上，不用数学归纳法而用二项式定理也可证明，方法是这样的：当n=3t（t∈N^*）时，

（3n+1）·7ⁿ－1=（9t+1）·7^3t－1=9t·7^3t+343^t－1.

由于343^t－1=（38×9+1）^t－1=（38×9）^t+C（38×9）^t－1+…+38×9·C +1－1能被9整除，所以当n=3t时，（3n+1）·7ⁿ－1能被9整除.

当n=3t+1（t∈N）时，

（3n+1）·7^n－1=（9t+4）·7^3t+1－1=9t·7^3t+1+28·7^3t－1

=9t·7^3t+1+27·7^3t+7^3t－1.

由n=3t的情形，7^3t－1=343^t－1能被9整除，于是n=3t+1时，（3n+1）·7ⁿ－1能被9整除.

当n=3t+2（t∈N）时，同法可证.