Question

设函数f（x）=x³-x²+2x，g（x）=ax²-（a-2）x，
（I）对于任意实数x∈[-1，2]，f′（x）≤m恒成立，求m的最小值；
（II）若方程f（x）=g（x）在区间（-1，+∞）有三个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导函数，再求导函数的最大值，从而求出m的最小值；
（II）先令令h（x）=f（x）-g（x）=，从而等价于2x²-3（a+1）x+6a=0有两个大于-1且不等于0的根，进而可以解决．
解答：解：（I）f′（x）=x²-x+2≤m，对称轴，f′（x）_max=f′（-1）=4≤m，即m的最小值为4
（II）令h（x）=f（x）-g（x）=
依题意得2x²-3（a+1）x+6a=0有两个大于-1且不等于0的根，
∴，从而解得或a＞3．
点评：本题研究恒成立问题，只需要转化为求函数的最大值即可，（II）中等价化简是简化解题的关键