Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=69°的菱形，M为PB的中点．

(Ⅰ)求PA与底面ABCD所成角的大小；

(Ⅱ)求证：PA⊥平面CDM．

Answer 1

解：(1)取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连接OA，则OA是PA在底面上的射影．

∴∠PAO就是PA与底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．

∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．

(Ⅱ)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，

有OA⊥DC．  建立空间直角坐标系如图，则

A(，0，0)，P(0，0，)，D(0，-1，0)，B(，2，0)，C(0，1，0)．

由M为PB中点，∴M()．

∴=()，=(，0，)，=(0，2，0)．

∴=×+2×0+()=0，

=0×+2×0+0×()=0．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．