Question

在数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=a_n+，猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

Answer 1

解：a₁=，a₂=+，a₃=++，

猜想：a_n=++ +…+= +（－）+（－）+…+（－）=

+ －=.

以下证明此猜想正确.

证明：（1）当n=1时，a₁== 符合已知.

（2）假设n=k（k≥1）时猜想正确，即a_k=，则当n=k+1时，a_k+1=a_k+

=+==，这就是说，当n=k+1时，猜想也正确.

由（1）、（2）知对一切n∈N^*，猜想均正确.

点评：（1）为了猜想，对a₂、a₃、a₄均没有化简，但为了证明时书写方便，猜出a_n后立即进行化简.

（2）本题也可利用迭加法求出a_n的表达式，但不符合本题解决的要求.