Question

直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=120°,AC=CB=A₁A=1.

(1)求证:B₁C₁∥平面A₁BC;

(2)求三棱锥A—A₁CB的体积;

(3)求二面角A₁-CB-A的正切值.

Answer 1

解法一:(1)证明:在三棱柱中C₁B₁∥CB,BC平面A₁BC,且B₁C₁平面A₁BC,

则B₁C₁∥平面A₁BC.

(2)因为==×1×(×1×1×sin120°)=.

(3)在平面ABC内过点A向BC作垂线AD,交BC延长线于点D,连结A₁D.

因为A₁A⊥平面ABC,所以A₁D⊥BD.

所以∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角.容易求出AD=,

所以tan∠A₁DA=,

即二面角A₁-CB-A的正切值是.

解法二:如图建立空间直角坐标系,则有A(1,0,0),A₁(1,0,1),B(,,0),B₁(,,1),C₁(0,0,1).

(1)略.

(2)略.

(3)显然n₁=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.

设n₂=(x,y,z)是平面A₁BC的法向量,则n₂·=0,且n₂·=0,即x+z=0,且x+y=0.

解得平面A₁BC的一个法向量是n₂=(1,,-1).

因为n₁·n₂=-1,|n₁|=1,|n₂|=,设二面角A₁-CB-A的大小为β,则cos(π-β)=.所以cosβ=.所以tanβ=.