Question

求证：
（1）

sin(α-β)

cosαcosβ

=tanα-tanβ
（2）

1

cos00cos10

+

1

cos10cos20

+

1

cos20cos30

+…+

1

cos880cos890

=

cos10

sin210

．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数化简等式的左边，即可证明等式；
（2）利用表达式的左侧，分子分母同乘sin1°，利用两角差的正弦函数展开分子，化简表达式求和即可证明结果．

解答：证明：（1）左=

sin(α-β)

cosαcosβ

=

sinαcosβ-cosαsinβ

cosαcosβ

=

sinαcosβ

cosαcosβ

-

cosαsinβ

cosαcosβ

=tanα-tanβ=右．
∴

sin(α-β)

cosαcosβ

=tanα-tanβ
∴等式成立．
（2）∵

sin1°

cosn°cos(n+1)°

=

sin[(n+1)°-n°]

cosn°cos(n+1)°

=

sin(n+1)°cosn°-cos(n+1)°sinn°

cosn°cos(n+1)°

=tan（n+1）°-tann°．
∴左=

1

cos0°cos1°

+

1

cos1°cos2°

+

1

cos2°cos3°

+…+

1

cos88°cos89°

=

1

sin1°

(

sin1°

cos0°cos1°

+

sin1°

cos1°cos2°

+

sin1°

cos2°cos3°

+…+

sin1°

cos88°cos89°

)
=

1

sin1°

(tan1°-tan0°+tan2°-tan1°+…+tan89°-tan88°)
=

1

sin1°

•tan89°
=

1

sin1°

•

sin89°

cos89°

=

cos1°

sin21°

=右．
∴

1

cos0°cos1°

+

1

cos1°cos2°

+

1

cos2°cos3°

+…+

1

cos88°cos89°

=

cos1°

sin21°

∴等式成立．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角恒等式的证明，解题要注意公式的灵活运用．