Question

函数f（x）=x³-3x²-9x+3，若函数g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3个零点，则m的取值范围为

（1，8）

．

Answer 1

分析：利用导数的运算法则可得f′（x），列出表格即可得出函数f（x）的单调性极值与最值，再画出函数y=f（x）与y=m的图象，即可得出m的取值范围．

解答：解：f′（x）=3x²-6x-9=3（x²-2x-3）=3（x-3）（x+1），令f′（x）=0，解得x=-2或3．
其单调性如表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，5]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

可知：当x=3时，函数f（x）取得极小值，f（3）=3³-3×3²-9×3+3=-24，
又f-2）=（-2）³-3×（-2）²-9×（-2）+3=1，可知最小值为f（3），即-24．
当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=（-1）³-3×（-1）²-9×（-1）+3=8，
又f（5）=5³-3×5²-9×5+3=8，可知函数f（x）的最大值为f（5）或f（-1），即为8．
画出图象y=f（x）与y=m．
由图象可知：当m∈（1，8）时，函数y=f（x）与y=m的图象由三个交点．因此当m∈（1，8）时，函数g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3个零点．
故答案为：（1，8）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其图象、方程的解的个数转化为函数图象的交点的个数、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．