Question

已知椭圆与双曲线2x²-2y²=1共焦点，且过（）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（，0）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程．
（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），把y=2x+b 代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=-x，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b值，即得轨迹方程中自变量x
的范围．
解答：解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．
∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），
∴=2，∴椭圆方程为=1．
（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则
y=2x+b 且 =1得，9x²+8xb+2b²-2=0，∴x₁+x₂=-．
即x=-两式消掉b得 y=-x．
令△=0，64b²-36（2b²-2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3
即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．
所以平行弦得中点轨迹方程为：y=-x（-）．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量x的范围，是解题的易错点．