Question

抛物线y²=2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.求证：

(1)A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；

(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点).

Answer 1

证明:(1)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、中点M(x₀,y₀)，焦点F的坐标是(,0).

由得ky²－2py－kp²=0.

∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N.

∴C(－,y₁)、D(－,y₂)、N(－,y₀).

∵k_OA===,k_OD=,

由ky²－2py－kp²=0,

得y₁y₂==－p².

∴k_OA=k_OD.∴A、O、D三点共线.同理可证B、O、C三点共线.

(2)k_FN=,当x₁=x₂时，显然FN⊥AB；当x₁≠x₂时，k_AB====,

∴k_FN·k_AB=－1.

∴FN⊥AB.综上所述知FN⊥AB成立.