Question

已知棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，E为BC中点.

（1）求证：平面B₁C₁D ⊥面B₁ED；

（2）求直线DC和平面B₁ED所成的正弦值.

Answer 1

（1）证明：在B₁D上取中点O，取C₁D中点F，连OE、OF、CF，则OFB₁C₁,

则ECOF,

于是OE∥CF,

而在四边形CDD₁C₁中，F为C₁D和CD₁的交点，

CF⊥C₁D，则又知CF⊥B₁C₁，

从而CF⊥面B₁C₁D，又由OE∥CF，

∴OE⊥面B₁C₁D，平面B₁DE过直线OE.

∴面B₁DE⊥面B₁C₁D.

（2）解：在四面体B₁—DCE中，V _B1—ECD=V _C—B1DE，

则S_△B1DE·h _C—B1DE=S_△ECD·h _B1—ECD

而S _B1DE=a²,S_△ECD=,则h _C—B1DE=.

设C到面B₁DE上射影为H，CD和面B₁ED所成角为α，

则sinα=