Question

已知数列{a_n}的各项都为正数，a₁=1，前n项和S_n满足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{

Sn

}是等差数列；
（Ⅱ）令bn=

1

anan+1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），因式分解后可化简为，

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），利用等差数列的定义可作出判断；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得

Sn

，S_n，进而可求得a_n，b_n，利用裂相消法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
∴(

Sn

+

Sn-1

)(

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，
又∵a_n＞0，∴

Sn

+

Sn-1

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
∴数列{

Sn

}是等差数列，首项为

S1

=1，公差为1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

Sn

=1+n-1=n，∴Sn=n2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
又a₁=1，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列递推式、等差关系的确定及数列求和问题，考查学生的运算求解能力，裂项相消法对数列求和是高考考查重点内容，要熟练掌握．