Question

19．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，$\sqrt{3}$AB=2BD，PD=AD，PD⊥底面ABCD，E为PC上一点，且PE=$\frac{1}{2}$EC．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若AD=$\sqrt{6}$，求三棱锥E-CBD的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，不妨设AB=2，BD=$\sqrt{3}$，由余弦定理可得AD，则AD²+BD²=BA²，从而得到BD⊥AD，结合PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，再由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（2）过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E-CBD的高为EF，由已知可得EF．再由（1）知BD，代入三棱锥E-CBD的体积公式求解．

解答 （1）证明：在△ABD中，由余弦定理可得：AD²=BA²+BD²-2BA•BD•cos∠DBA，
不妨设AB=2，则由已知$\sqrt{3}$AB=2BD，得BD=$\sqrt{3}$，
∴$A{D}^{2}={2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-2×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$，则AD²+BD²=BA²，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，而AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；
（2）解：过E作EF⊥CD于F，则三棱锥E-CBD的高为EF，
由已知可得EF=$\frac{2}{3}PD=\frac{2}{3}AD=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
由（1）知BD=AD$•tan60°=3\sqrt{2}$，
∴三棱锥E-CBD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△CBD}•EF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，考查棱锥体积的求法，是中档题．