Question

7．如图，在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为的A₁B₁中点O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出CO⊥A₁B₁，A₁C₁=C₁B₁，C₁O⊥A₁B₁，从而A₁B₁⊥平面CC₁O，再由A₁B₁∥AB，能证明AB⊥平面CC₁O．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CC₁-B的正弦值．

解答 证明：（1）∵点C在平面${A}_{1}{B}_{1}{{C}_{1}}^{\;}$内的射影点为A₁B₁的中点O，
∴CO⊥A₁B₁，∵AC=BC，∴A₁C₁=C₁B₁，
∵O为A₁B₁的中点，∴C₁O⊥A₁B₁，
∵C₁O∩CO=O，∴A₁B₁⊥平面CC₁O，
∵A₁B₁∥AB，∴AB⊥平面CC₁O．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=1，则CC₁=1，C₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠COC₁=$\frac{π}{2}$，∴CO=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则C（0，0，0），C₁（-$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），A（1，0，0），B（0，1，0），
∴$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
设平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}，1$），
同理得平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}，0，1$），
设二面角A-CC₁-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{3}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴二面角A-CC₁-B的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．