Question

已知曲线C₁：y=x²与C₂:y=－(x－2)²,若直线L与C₁、C₂都相切,求L的方程.

Answer 1

设直线L与C₁相切于点(x₁,x₁²), ∵y=x²,∴y′=2x.

∴y′=2x₁.                                                                                                3分

∴L：y－x₁²=2x₁(x－x₁), 即y=2x₁x－x₁².                                                           5分

设直线L与C₂相切于点(x₂,－(x₂－2)²),

∵y=－(x－2)², ∴y′=－2(x－2).

∴y′=－2(x₂－2).                                                                                     7分

∴L：y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),

即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4.                                                                                  8分

比较L的两个方程, 应有

将x₁=2－x₂代入第二个方程,得－(2－x₂)²=x₂²－4,

解得x₂=0或x₂=2,于是x₁=2或x₁=0.                                                                  10分

当x₁=2,x₂=0时,直线L经过两点(2,4)、(0,－4),

∴直线L的方程为y=4x－4;

当x₁=0,x₂=2时,直线L经过(0,0)、(2,0)两点,

∴直线L的方程为y=0.                                                                                    12分

解析:

本题主要考查导数几何意义的应用.要求具有某种性质的切线,只需求出对应的x₀即可,一般要求出x₀所需满足的方程或方程组,解之即可.