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    精英家教网如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a2上的射影依次为点D，K，E，
    （1）已知抛物线x2=4
    		3
    y    的焦点为椭圆C的上顶点．
    ①求椭圆C的方程；
    ②若直线L交y轴于点M，且
    MA
    =λ1
    AF
    ，
    MB
    =λ2
    BF
    ，当m变化时，求λ1+λ2的值；
    （2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．
    分析：（1）由题设条件知c=1，a2=b2+c2=4，椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，再由l与y轴交于M(0，-
    1
    m
    )    ，设A（x1，y1），B（x2，y2），由
    x=my+1
    3x2+4y2-12=0
    ，知（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）＞0，然后由根与系数的关系能求出λ1+λ2的值；
    （2）由F（1，0），k=（a2，0），先探索m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且N(
    a2+1
    2
    ，0)    ，再猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(
    a2+1
    2
    ，0)    ．然后结合题设条猜想进行证明．
    解答：解：（1）易知b=
    		3
    ，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4
    ∴椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    （3分）
    ∵l与y轴交于M(0，-
    1
    m
    )
    设A（x1，y1），B（x2，y2），由
    x=my+1
    3x2+4y2-12=0

    ∴（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）＞0∴
    1
    y1
    +
    1
    y2
    =
    2m
    3
    (*)    （5分）
    又由
    MA
    =λ1
    AF
    ，∴(x1，y1+
    1
    m
    )=λ1(1-x1，-y1)
    ∴λ1=-1-
    1
    my1
    同理λ2=-1-
    1
    my2

    ∴λ1+λ2=-2-
    1
    m
    (
    1
    y1
    +
    1
    y2
    )=-2-
    2
    3
    =-
    8
    3
    （8分）

    （3）∵F（1，0），k=（a2，0），
    先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且N(
    a2+1
    2
    ，0)
    猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(
    a2+1
    2
    ，0)    （9分）
    证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），E（a2，y2），D（a2，y1）
    当m变化时首先AE过定点N
    ∵
    x=my+1
    b2x2+a2y2-a2b2=0
    ，即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0
    又△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）
    又KAN=
    -y1
    a2-1
    2
    -my1
    ，KEN=
    -y2
    1-a2
    2

    而KAN-KEN=
    a2-1
    2
    (y1+y2)-my1y2
    1-a2
    2
    (
    a2-1
    2
    -my1)

    (
    a2-1
    2
    (y1+y2)-my1y2=
    a2-1
    2
    •(-
    2mb2
    a2+m2b2
    )-m•
    b2(1-a2)
    a2+m2b2
    =
    (a2-1)•(mb2-mb2)
    a2+m2b2
    =0)
    ∴KAN=KEN，∴A、N、E三点共线，
    同理可得B、N、D三点共线
    ∴AE与BD相交于定点N(
    a2+1
    2
    ，0)    （13分）
    点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行猜想．
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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    的右焦点F，抛物线：x2=4
    		3
    y    的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且
    MA
    =λ1
    AF
    ，
    MB
    =λ2
    BF
    ，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；
    （Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点N(
    5
    2
    ，0)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y2=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k1，k2．
    （Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
    （Ⅱ）试证明：k1+k2为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a2上的射影依次为点D，K，E．
    （1）若抛物线x2=4
    		3
    y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
    （2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•乐山二模）如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4
    		3
    y的焦点为椭圆C的顶点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若直线L交y轴于点M，
    MA
    =λ1
    AF
    ，
    MB
    =λ2
    BF
    ，当M变化时，求λ1+λ2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a2上的射影依次为点D、E．
    （1）若抛物线x2=4
    		3
    y    的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理科生做）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；
    否则说明理由．
    （文科生做）若N(
    a2+1
    2
    ，0)    为x轴上一点，求证：
    AN
    =λ
    NE
    ．

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