Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）．求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；
（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，进而把条件转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．
解答：解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0）．
由已知得．
故双曲线C的方程为．
（2）将．
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
则，
而=．
于是．②
由①、②得．
故k的取值范围为．
点评：本题考查双曲线的标准方程与性质以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．