Question

15．已知椭圆$C：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，点A（3，0），P是椭圆C上的动点．
（I）若直线AP与椭圆C相切，求点P的坐标；
（II）若P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形OPAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）设直线AP的方程，代入椭圆方程，由△=0，即可求得k的值，代入即可求得P点坐标；
（II）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S_△OAP+S_△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（I）设直线AP的斜率k，（k≠0），则直线AP：y=k（x-3），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，
由直线AP与椭圆C相切，则△=（18k²）²-4×（1+3k²）（27k²-6）=0，解得：k²=$\frac{2}{3}$，
则x²-4x+4=0，解得：x=2，
将x=2代入椭圆方程，解得：y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴P点坐标为（2，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或（2，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）；
（II）设线段AP的中点为D．
因为BA=BP，所以BD⊥AP．
由题意知直线BD的斜率存在，
设点P的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），
则点D的坐标为（$\frac{{x}_{0}+3}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），直线AP的斜率k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
∴直线BD的斜率k_BD=-$\frac{1}{{k}_{AP}}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
故直线BD的方程为y-$\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-$\frac{{x}_{0}+3}{2}$）．
令x=0，得y=$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，故B（0，$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$）．
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，得x₀²=6-3y₀²，化简得B（0，$\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}$）．
因此，S_{四边形OPAB}=S_△OAP+S_△OAB=$\frac{1}{2}$×3×|y₀|+$\frac{1}{2}$×3×|$\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}$|
=$\frac{3}{2}$（|y₀|+|$\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}$|）=$\frac{3}{2}$（2|y₀|+$\frac{3}{2丨{y}_{0}丨}$）≥$\frac{3}{2}$×2$\sqrt{2丨{y}_{0}丨×\frac{3}{2丨{y}_{0}丨}}$=3$\sqrt{3}$．
当且仅当2|y₀|=$\frac{3}{2丨{y}_{0}丨}$时，即y₀=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]时等号成立．
故四边形OPAB面积的最小值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相切的充要条件，考查四边形面积的最值的求法，注意运用直线的斜率公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．