Question

（2013•门头沟区一模）已知函数f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得由f′（-1）=0，求导数代入可得关于b的方程，解之可得；
（Ⅱ）分b=0，b＞0和b＜0三种情形，由导数的正负获得函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）由题意f（x）=

x

x2+b

，故f′（x）=

x2+b-x•2x

(x2+b)2

=

b-x2

(x2+b)2

…（2分）
依题意，由f′（-1）=

b-1

(1+b)2

=0，得b=1．…（4分）
经检验，b=1符合题意．…（5分）
（Ⅱ）①当b=0时，f（x）=

1

x

．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（0，+∞）；无单调增区间． …（6分）
②当b＞0时，f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

．令f′（x）=0，得x₁=-

b

，x₂=

b

…（8分）
故f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

故f（x）的单调减区间为（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；单调增区间为（-

b

，

b

）．…（11分）
③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x|x≠±

-b

}，因为f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

＜0在D上恒成立，
故f（x）的单调减区间为（-∞，-

-b

），（-

-b

，

-b

），（

-b

，+∞）；无单调增区间．…（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线问题，属中档题．