Question

15．如图，设ABCD和ABEF均为平行四边形，他们不在同一平面内，M，N分别为对角线AC，BF上的点，且AM：AC=FN：BF．
求证：MN∥平面BEC．

Answer 1

分析 过M作MQ∥BA交CB于点Q，过N作NP∥FE交BE于点P，连接QP，证明四边形MQPN为平行四边形，进而证明出MN∥QP，最后利用线面平行的判定定理证明出结论．

解答 证明：如图示过M作MQ∥BA交CB于点Q，过N作NP∥FE交BE于点P，连接QP，
在△CAB中，∵MQ∥AB，∴$\frac{CM}{AC}=\frac{MQ}{AB}$，
在△BFE中，同理可得，$\frac{BN}{BF}=\frac{NP}{FE}$，
∵四边形ABFE为平行四边形，∴$AB\underline{\underline{∥}}FE$，
又$\frac{AM}{AC}=\frac{FN}{BF}$，∴$\frac{AC-CM}{AC}=\frac{BF-BN}{BF}$，∴$\frac{CM}{AC}=\frac{BN}{BF}$，∴$\frac{MQ}{AB}=\frac{NP}{FE}$，
∴MQ=NP，
∵$MQ∥AB，NP∥FE，AB\underline{\underline{∥}}FE$，∴MQ∥NP，∴$MQ\underline{\underline{∥}}NP$，
∴四边形MQPN为平行四边形，
∴MN∥QP
又∵MN?面BEC，QP?面BEC，∴MN∥面BEC．

点评 本题主要考查了线面平行的判定定理的运用．解题的关键是证明出MN∥QP，属于中档题．